Investigación operativa, modelo de Markov (página 2)

Suponga que toda la industria de refresco produce dos
colas: Coca Cola y Pepsi Cola. Cuando una persona ha comprado
Coca Cola hay una probabilidad de 90 % de que siga
comprándola a la vez siguiente. Si una persona toma Pepsi,
hay un 80% de que repita la vez siguiente.

• a) Si una persona actualmente es comprador de
  Pepsi. ¿Cuál es la probabilidad de que compre
  Coca Cola pasadas dos compras a partir de ahora?

• b) Si una persona actualmente es comprador de
  Coca Cola. ¿Cuál es la probabilidad de que
  compre Coca Cola pasadas tres compras a partir de
  ahora?

• c) Supongamos que el 60% de toda la gente toma
  hoy Coca Cola y el 40% Pepsi. A tres compras a partir de
  ahora, ¿Qué fracción de los compradores
  estará tomando Coca Cola?

RESPUESTA

• Hay una probabilidad del 34% de que pasadas dos
  compras consuma Coca Cola.

• Hay una probabilidad del 78.1 % de que pasadas tres
  compras consuma Coca Cola.

• Hay una probabilidad del 64.38 % de que pasadas tres
  compras un comprador consuma Coca Cola.

• 8. EJERCICIO

Una tienda de departamentos regional y grande, MITULA
S.A, tiene un plan de crédito en sus tiendas. Cada mes se
clasifican esas cuentas en cuatro categorías: saldadas,
con saldo insoluto, con saldo vencido y como cuenta perdida. Las
cuentas saldadas son las que no tienen saldo a pagar en el mes;
las cuentas con saldo insoluto son las que no adeudan saldos en
el mes anterior, pero les han cargado compras realizadas en el
mes; las cuentas vencidas son las que tienen un saldo que ha
permanecido sin pagarse durante más de un mes, pero menos
de tres. Por último, las cuentas pérdidas son las
que tienen un saldo con más de tres meses de vencido y que
no se espera poder cobrar.

De los registros de la tienda, se ha determinado que el
60% de las cuentas con saldo insoluto se pagan al siguiente mes,
30% permanece en la misma categoría y 10% se convierte en
saldo vencido. También se ha determinado que el 40% de las
cuentas vencidas se convierten en saldos insolutos, 30% se pagan,
20% permanecen vencidas y 10% se cancelan como cuentas perdidas.
Una vez que una cuenta llega a la categoría de perdida, se
cancela. De manera similar, una vez que una cuenta pasa a la
categoría de saldada, ese dinero ya no es parte de las
cuentas por cobrar.

• a) Escriba la matriz de transición para
  este problema.

• b) Si en la actualidad existen $100.000 de las
  cuentas por cobrar en la categoría de saldadas,
  $50.000 en la categoría de saldo insoluto, $20.000 en
  la categoría de saldos vencidos y $5.000 en la
  categoría de cuentas perdidas, ¿qué
  cantidad habrá en cada categoría al mes
  siguiente? ¿Y al mes después de
  éste?

RESPUESTA

Se pueden resumir los resultados:

• 9. EJERCICIO

Una maestra de matemáticas, no queriendo parecer
predecible, decide asignar las tareas basándose en
probabilidades. El primer día de clases, dibuja este
diagrama en el pizarrón para decir a los estudiantes, si
en la próxima clase les espera una asignación
completa (C), una asignación parcial (P) o sin
asignación (N).

Construir y etiquetar la matriz de transición
correspondiente al diagrama.

• a) Si los estudiantes tienen hoy una
  asignación completa, ¿cuál es la
  probabilidad de que tengan una asignación completa de
  nuevo la próxima clase?

• b) Si hoy no tienen asignación,
  ¿cuál es la probabilidad de que no tengan una
  asignación de nuevo la próxima
  clase?

• c) Hoy es miércoles y los estudiantes
  tienen una asignación parcial. ¿Cuál es
  la probabilidad de que no tengan tareas el
  viernes?

• d) La matriz A es la matriz de
  transición para un día. Encontrar la matriz de
  transición para dos días (por ejemplo, si hoy
  es lunes, ¿cuáles son las oportunidades de cada
  clase de asignación el día
  miércoles?).

• e) Encontrar la matriz de transición
  para tres días.

• f) Si no se tienen tareas este viernes,
  ¿cuál es la probabilidad de que no se tengan
  tareas el próximo viernes? (considerar sólo
  cinco días de escuela a la semana). Dar respuesta
  exacta para dos decimales.

RESPUESTAS

Los resultados son:

x = 0.4888839

y = 0.33330357

z = 0.180804

• 10. EJERCICIO

En la industria de la cerveza lidera, tres marcas
comparten aproximadamente el 75 % de todas las ventas; la
Pilsener, Club Verde y Budweiser. Estas tres marcas compiten de
forma intensa por los clientes de la cerveza ligera. En tiempos
recientes, la Pilsener hizo que una agencia externa llevara a
cabo un estudio sobre la forma en que los clientes estaban
reaccionando a los anuncios. Los resultados del estudio mostraron
que después de tres meses, el 50 % de los clientes de la
Pilsener seguían prefiriendo la Pilsener, el 30 %
preferían la Club Verde y el 20 % preferían la
Budweiser. De los clientes de la Club, el 60 % seguían
prefiriendo la Club Verde, el 30 % preferían la Pilsener y
el 10 % preferían la Budweiser. De los clientes de la
Budweiser, 40 % seguían prefiriendo su marca, 30 %
preferían la Pilsener y el 30 % preferían la
Club.

• a) Elabore la Matriz de Transición para
  este problema de cambios de marca.

• b) Determine el porcentaje de estado
  estacionario de los clientes que prefieren cada tipo de
  cerveza.

RESPUESTA

En el largo plazo, el 37.5 % preferirán Pilsener,
el 42.857 % Club Verde y el 19.64 % Budweiser.

• 11. EJERCICIO

Una vez terminado el censo realizado en el cantón
salitre se determinó que existen 10,000 habitantes, de los
cuales 5000 personas no fuman, 2500 fuman uno o menos de un
paquete diario y 2500 fuman más de un paquete diario. En
un mes hay un 5% de probabilidad de que un no fumador comience a
fumar un paquete diario, o menos, y un 2% de que un no fumador
pase a fumar más de un paquete diario. Para los que fuman
un paquete, o menos, hay un 10% de probabilidad de que dejen el
tabaco, y un 10% de que pasen a fumar más de un paquete
diario. Entre los que fuman más de un paquete, hay un 5%
de probabilidad de que dejen el tabaco y un 10% de que pasen a
fumar un paquete, o menos. ¿Cuántos individuos
habrá de cada clase el próximo mes?

RESPUESTA:

Después de un mes habrá:

• No Fuman = 5025,

• Fuman uno o menos de un paquete diarios =
  2500,

• Fuman más de un paquete diario =
  2475

• 12. EJERCICIO

La tienda "BROTHERGAMES" dedicada a la renta de
Videojuegos tiene tres locales en la ciudad de Ambato. Un
videojuego puede ser rentado en cualquiera de los tres locales y
regresado en cualquiera de ellos. Hay estudios que muestran que
los Videojuegos son rentados en un local y devueltos de acuerdo
con las probabilidades dadas por:

Suponga que el 20% de los videos son rentados
inicialmente en el local 1, el 50% en el local 2 y el 30% en el
local 3. Encuentre los porcentajes que puede esperarse sean
devueltos en cada local, después de:

• a) Una renta

• b) Dos rentas

RESPUESTA

• 13. EJERCICIO

Para que Juanito Pérez pueda ingresar a trabajar
en la empresa Konami S.A deberá pasar la prueba que
consiste hacer un peinado de zona en 3 ciudades A, B y C, para
evitar perder el tiempo entre el desplazamiento de ciudad en
ciudad decide hacer el peinado de zona por día.
Después de un día de trabajo en la ciudad C, la
probabilidad de tener que trabajar en la misma ciudad al
día siguiente es de 0.4, la de tener que viajar a B es de
0.4 y la de tener que ir a la ciudad A es de 0.2. Si el viajero
duerme un día en B, con probabilidad de un 20%,
tendrá que seguir trabajando en la misma ciudad al
día siguiente, en el 60% de los casos viajara a C,
mientras que irá a la ciudad A con probabilidad de 0.2 por
último si el aspirante a vendedor trabaja todo un
día en A permanecerá en esa ciudad al mismo
siguiente con una probabilidad del 0.1, irá a B con una
probabilidad de 0.3 y a C con una probabilidad de 0.6.

• a) Si hoy el viajante está en C,
  ¿cuál es la probabilidad de que también
  tenga que trabajar en C al cabo de cuatro
  días?

• b) ¿Cuáles son los porcentajes de
  días en los que el agente comercial está en
  cada una de las 3 ciudades?

RESPUESTA

La matriz de solución P es la
siguiente para el orden A,B,C

• 14. EJERCICIO

El valor de una acción fluctúa día
con día. Cuando la bolsa de valores se encuentra estable,
un incremento en un día tiende a anteceder una baja el
día siguiente, y una baja por lo regular es seguida por un
alza. Podemos modelar estos cambios en el valor mediante un
proceso de Markov con dos estados, el primer estado consistente
en que el valor se incrementa un día dado, el segundo
estado definido por la baja. (la posibilidad de que el valor
permanezca sin cambio se ignora) suponga que la matriz de
transición es la siguiente:

Si el valor de la acción bajó hoy, calcule
la probabilidad de que se incremente 3 días después
a partir de ahora.

RESPUESTA:

El valor de la acción en 3 días se
incrementara en un 0.36%

• 15. EJERCICIO

Se analizó en la ciudad de Ambato el
número de estudiantes que se cambió de una escuela
a otra durante su periodo lectivo. En promedio, Escuela La Salle,
fue capaz de retener 65% de sus estudiantes inscripto
originalmente. Sin embargo, 20% de los estudiantes que al
princip9i se inscribieron en ella se fueron a la escuela
Pensionado La Merced y 15% a la escuela Juan Montalvo. de esta
dos La Merced : 90% de sus estudiantes se quedaron hasta terminar
totalmente el año lectivo el rector de la escuela La Salle
estima que la mitad de los estudiante que abandona la escuela
Pensionado La Merced entran a la escuela La Salle y la otra mitad
a la escuela Juan Montalvo. Esta última pudo retener el
80% de sus estudiantes después que se inscribieron. Por
otra parte, 10% de los estudiantes originalmente se cambiaron al
Pensionado La Merced y el otro 10% se inscribió en la
Salle.

Actualmente, La Salle tiene 40% del mercado. Pensionado
La Merced, tiene 35% de mercado. La participación de
mercado restante (25%) consiste en estudiantes que asisten a la
escuela Juan Montalvo.

Al rector de la escuela La Salle de gustaría
determinar la participación de mercado que tendrá
la escuela el próximo año. La matriz de
transición está dada por:

• 16. EJERCICIO

La UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO administra
exámenes de competencia cada semestre. Estos
exámenes permiten a los estudiantes extender la clase de
introducción a la computación que se imparte en la
Universidad. Los resultados de los exámenes pueden
clasificarse en uno de los siguientes cuatro estados:

Estado 1: aprobación de todos los
exámenes de cómputo y exención del
curso

Estado 2: no se aprueba todos los exámenes
de cómputo en el tercer intento y se requiere tomar el
curso

Estado 3: reprobar los exámenes de
cómputo en el primer intento

Estado 4: reprobar los exámenes de
cómputo en el segundo intento

El coordinador de los exámenes del curso ha
notado la siguiente matriz de probabilidades de
transición:

RESPUESTA

(231; 19)

Como puede observarse, la matriz consta de dos
números. El número de estudiantes que
exentará es de 231. El número de alumnos que
finalmente tendrán que tomar el curso es de 19.

• 17. EJERCICIO

El departamento de marketing de INDUSTRIAS CATEDRAL S.A
ha realizado un estudio de mercado en el año 2013 donde se
estima que el 10% de la gente que compra un producto un mes, no
lo comprará el mes siguiente. Además, el 45% de
quienes no lo compren un mes lo adquirirá al mes
siguiente. En una población de 1.000 individuos, 200
compraron el producto el primer mes. ¿Cuántos lo
comprarán al mes próximo? ¿Y dentro de dos
meses?

A continuación se muestra la siguiente matriz de
transición:

RESPUESTA

• El primer mes comprarán C=540 personas y no
  comprarán N=460 personas.

• El segundo mes comprarán C=693 personas y no
  comprarán N= 307 personas.

18. EJERCICIO

Los sectores económicos del Ecuador se pueden
dividir en 3 clases: Primario, Secundario y Terciario.
Actualmente el 30% de las empresas pertenecen al sector Primario,
el 40% al sector Secundario, y el 30% pertenecen al sector
Terciario. La matriz de transición de un año al
siguiente es:

Donde:

S.P= Sector Primario

S.S= Sector Secundario

S.T= Sector Terciario

Preguntas: Encuentre los porcentajes de los tres
tipos Sectores Económicos: a) para el año
próximo, b) dentro de 2 años.

RESPUESTA

19. EJERCICIO

La empresa "Creaciones Loren´s" produce dos tipos
de buzos, buzos de talla S y buzos de talla M. El gerente de la
empresa se ha dado cuenta que cada seis meses, los buzos de talla
S permanece en bodega un 40%, 10% se vende a $20 c/u, 30% no han
salido defectuosos (es decir se mantienen en la talla S) y 20%
han salido defectuosos (es decir se acercan a la Talla M). Los
buzos de talla M un 50% se han vendido en $50, 20% en $30 y 30%
no han salido defectuosos.

ESTADOS:

BS: Buzos de talla Small

BM: Buzos de talla Medium

B: Permanecen en Bodega

V: Vendidos

• a) ¿Cuantos se mantiene en la talla S
  (sin defectos)?

• b) ¿Cuál es la probabilidad de
  que los buzos permanezcan en bodega antes de ser
  vendidos?

RESPUESTA

• 1.423 buzos no saldrán defectuosos

• 57% de probabilidad de que los buzos permanezcan en
  bodega antes de ser vendidos

20. EJERCICIO

Una estudiante está preocupada por su auto, pues
no le gustan las abolladuras. En la escuela puede estacionarlo en
la calle en un espacio, en dos espacios o en el
estacionamiento.

El estacionamiento le cuesta $5, pero no lo
abollarán. Si lo abollan y lo lleva a reparar, se queda
sin auto 1 día y el costo asciende a $50 por la
reparación y el transporte en taxi. También puede
manejar su auto abollado, pero piensa que la pérdida del
valor y su orgullo equivalen a un costo de $9 por día de
escuela. Desea determinar la política óptima para
estacionarse y repararlo o no si lo abollan a fin de minimizar su
costo promedio esperado (a largo plazo) por día de
escuela.

RESPUESTA:

• Los estados posibles del automóvil son
  abollado y no abollado.

• Cuando el automóvil no este abollado,
  estacionarlo en un espacio en la calle. Cuando este abollado,
  llevarlo a reparación.

Bibliografía

• FREDERICK S. HILLER, GERALD J. LIEBERMAN,
  Introducción a la Investigación
  Operativa, 9na edición, Mc Graw Hill.

• GIL ALUJA J.; (1967); El Estudio Dinámico
  De La Elección De Inversiones; Técnica
  Contable; Pág. 41-50 y 66.

• HERNÁNDEZ, B; (2000); Bolsa y
  estadística bursátil; España;
  Editorial-Díaz De Santos S.A; Pág.
  29.

• JOHNSON David B, MOWRY Thomas A. Matemáticas
  finitas: aplicaciones prácticas. Año 2000.
  Editorial Thomson. pág. 340

• LÓPEZ E.; Departamento De
  Dirección Y Economía De La Empresa;
  España; Campus de vegazana; Pág. 355 –
  356

• RENDER BARRY, STAIR RALPH, HANNA MICHAEL, (2006).
  Métodos Cuantitativos para los Negocios;
  México Novena Edición, Pearson.

Autor:

Ludovico Sforza